Une transformation affine

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 7 — Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Transformations d'une variable à densité

Énoncé

Soit $X ↪ U [0, 1]$ et $Y = 3 X - 1$ . Déterminer la loi de $Y$ , son espérance et sa variance.

Corrigé

Par la fonction de répartition. Pour $t \in [- 1, 2]$ ,

$F_{Y} (t) = P (3 X - 1 ⩽ t) = P (X ⩽ \frac{t + 1}{3}) = \frac{t + 1}{3},$

et $F_{Y}$ vaut $0$ avant $- 1$ , $1$ après $2$ . En dérivant, la densité vaut $\frac{1}{3}$ sur $[- 1, 2]$ : $Y ↪ U [- 1, 2]$ .

Moments. $E (Y) = \frac{- 1 + 2}{2} = \frac{1}{2}$ , ce que confirme la linéarité : $3 \times \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ . $V (Y) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ , et par la règle $V (a X) = a^{2} V (X)$ : $9 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{4}$ . Cohérent.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.