Une variable sans espérance

Variables aléatoires à densité et lois usuelles · Espérance, variance et leur existence · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f (t) = \frac{1}{π ( 1 + t ^{2} )}$ sur $R$ . Montrer que c'est une densité, puis que la variable correspondante n'admet pas d'espérance.

Corrigé

Densité. $f$ est continue et positive. Sur $[- A, A]$ :

$\int_{- A}^{A} \frac{d t}{π ( 1 + t ^{2} )} = \frac{1}{π} [arctan t]_{- A}^{A} = \frac{2 arctan A}{π} A \to + \infty \frac{2}{π} \times \frac{π}{2} = 1.$

Pas d'espérance. Il faudrait la convergence absolue de $\int t f (t) d t$ . Or, pour $t ⩾ 1$ ,

$\frac{∣ t ∣}{π ( 1 + t ^{2} )} ⩾ \frac{t}{π \times 2 t ^{2}} = \frac{1}{2 π t},$

et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t}$ diverge. Par comparaison de fonctions positives, l'intégrale diverge : pas d'espérance.

Remarque. C'est la loi de Cauchy. Sa densité est parfaitement symétrique autour de $0$ — on serait tenté de dire que « la moyenne est $0$ » — et pourtant l'espérance n'existe pas. La symétrie ne suffit jamais.

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables