Vérifier qu'une fonction est une densité

Les trois conditions. Une densité doit être continue sur $\mathbb{R}$ sauf en un nombre fini de points, positive, et d'intégrale égale à $1$.

Continuité. $f$ est continue sur $\left]-\infty ,0\right[$, sur $\left]0,1\right[$ et sur $\left]1,+\infty \right[$ ; elle n'a de discontinuité qu'en $t=1$, où elle passe de $2$ à $0$. Cela fait un seul point de discontinuité, ce qui est permis.

Positivité. Sur $[0,1]$, $f(t)=2t⩾0$ ; ailleurs $f$ est nulle. Donc $f⩾0$ sur $\mathbb{R}$.

L'intégrale. Elle porte uniquement sur $[0,1]$, où $f$ n'est pas nulle : $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}2t\mathrm{d}t=[t^2{]}_0^1=1.$$ Les trois conditions sont remplies : $f$ est une densité de probabilité.

L'espérance. Par définition, $$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }tf(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}2t^2\mathrm{d}t={\left[\frac{2t^3}{3}\right]}_0^1=\frac{2}{3}.$$ L'intégrale porte sur un segment et l'intégrande est continu : il n'y a aucune question de convergence.

Un contrôle de vraisemblance. $E(X)=\frac{2}{3}>\frac{1}{2}$ : la densité $2t$ croît, donc elle donne plus de poids aux valeurs proches de $1$ qu'à celles proches de $0$. La moyenne doit se situer dans la moitié droite de $[0,1]$, et c'est le cas.