Combien de mesures pour cette précision ?

La formule. Pour $n$ mesures indépendantes de même variance ${\sigma }^2$, la moyenne $\overline{X_n}$ vérifie $$V(\overline{X_n})=\frac{1}{n^2}\times n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n},\sigma (\overline{X_n})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$ Le carré au dénominateur vient de $V(aZ)=a^{2}V(Z)$ avec $a=\frac{1}{n}$ ; l'indépendance sert à écrire $V(\sum X_i)=n{\sigma }^2$.

Pour $n=100$. $\sigma (\overline{X_{100}})=\frac{5}{\sqrt{100}}=\frac{5}{10}=0,5$.

Pour atteindre $0,25$. On résout $\frac{5}{\sqrt{n}}=0,25$, soit $\sqrt{n}=20$ et $$n=400.$$

La leçon, et son prix. Diviser l'écart-type par $2$ exige de quadrupler le nombre de mesures. La précision ne progresse qu'en $1/\sqrt{n}$ : il n'y a pas de raccourci, et c'est ce qui rend les grands échantillons coûteux.