Covariance nulle sans indépendance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Indépendance et covariance nulle

Énoncé

Soit $Θ$ uniforme sur ${0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}}$ , et posons $X = cos Θ$ , $Y = sin Θ$ . Montrer que $Cov (X, Y) = 0$ mais que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Corrigé

Les valeurs. Les quatre couples $(X, Y)$ sont $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , $(- 1, 0)$ , $(0, - 1)$ , chacun de probabilité $\frac{1}{4}$ .

Covariance. $E (X) = \frac{1 + 0 - 1 + 0}{4} = 0$ et de même $E (Y) = 0$ . Le produit $X Y$ vaut $0$ dans les quatre cas, donc $E (X Y) = 0$ et

$Cov (X, Y) = 0 - 0 = 0.$

Pas indépendantes. $P ([X = 1]) = \frac{1}{4}$ et $P ([Y = 1]) = \frac{1}{4}$ , donc le produit vaut $\frac{1}{16}$ . Or $P ([X = 1] \cap [Y = 1]) = 0$ , puisque le point $(1, 1)$ n'est jamais atteint. L'égalité échoue.

Le lien caché. $X^{2} + Y^{2} = 1$ toujours : la contrainte est totale, et pourtant parfaitement invisible à la covariance.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.