Deux à deux, mais pas mutuellement

Loi de $Z$. $Z$ prend ses valeurs dans $\{-1,1\}$, et $P([Z=1])=P([X=Y])=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ : $Z$ suit la même loi uniforme sur $\{-1,1\}$.

Indépendance de $X$ et $Z$. Pour $\epsilon ,\delta \in \{-1,1\}$, $$P([X=\epsilon ]\cap [Z=\delta ])=P([X=\epsilon ]\cap [Y=\epsilon \delta ])=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4},$$ en utilisant l'indépendance de $X$ et $Y$ et le fait que, sachant $X=\epsilon$, l'événement $[Z=\delta ]$ est exactement $[Y=\epsilon \delta ]$ (car ${\epsilon }^2=1$). Or $P([X=\epsilon ])P([Z=\delta ])=\frac{1}{4}$ : l'égalité est vérifiée sur tous les singletons, donc $X$ et $Z$ sont indépendantes. Le même calcul, en échangeant les rôles, vaut pour $Y$ et $Z$ ; et $X$, $Y$ sont indépendantes par hypothèse.

Pas mutuellement indépendantes. Prenons le triplet $(1,1,-1)$ : $$P([X=1]\cap [Y=1]\cap [Z=-1])=0,$$ puisque $X=Y=1$ force $Z=1$. Le produit des trois probabilités marginales vaut pourtant $\frac{1}{8}\ne 0$.

La leçon. L'indépendance deux à deux ne se propage pas au triplet : ici la troisième variable est entièrement déterminée par les deux autres.