Deux paquets de dés

Ce qu'on emploie. Le lemme des coalitions : $A$ est fonction de $(X_1,X_2,X_3)$, $B$ de $(X_4,X_5,X_6)$, et les six variables sont mutuellement indépendantes ; donc $A$ et $B$ sont indépendantes. Comme elles sont bornées, elles admettent un moment d'ordre $2$, et $E(AB)=E(A)E(B)$.

Espérance de $B$. Chaque $X_i$ vaut $1,\dots ,6$ avec probabilité $\frac{1}{6}$, donc $E(X_i)=\frac{21}{6}=3,5$ et, par linéarité, $E(B)=3\times 3,5=\frac{21}{2}$.

Espérance de $A$. Pour $k\in \{0,\dots ,6\}$, l'indépendance donne $P([A⩽k])={\left(\frac{k}{6}\right)}^3$. Comme $A$ est à valeurs dans $\{1,\dots ,6\}$, on somme les probabilités de dépassement : $$E(A)=\sum _{k=0}^{5}P([A>k])=\sum _{k=0}^5\left(1-\frac{k^3}{216}\right)=6-\frac{0+1+8+27+64+125}{216}=6-\frac{225}{216}=\frac{119}{24}.$$

Conclusion. $$E(AB)=\frac{119}{24}\times \frac{21}{2}=\frac{2499}{48}=\frac{833}{16}\approx 52,06.$$

Contrôle. $E(A)\approx 4,96>3,5$ : le maximum de trois dés dépasse en moyenne un dé seul, ce qui est bien attendu.