Deux placements qui se compensent

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Combinaisons de variance minimale

Énoncé

Deux placements ont des rendements $X$ et $Y$ de variances $4$ et $9$ , avec $Cov (X, Y) = - 3$ . On investit une part $t$ dans le premier et $1 - t$ dans le second. Trouver le $t$ qui minimise la variance du rendement, et la valeur obtenue.

Corrigé

La variance du portefeuille. Avec $Z_{t} = tX + (1 - t) Y$ , la bilinéarité de la covariance donne $V (Z_{t}) = t^{2} V (X) + (1 - t)^{2} V (Y) + 2 t (1 - t) Cov (X, Y) .$ En reportant les données : $V (Z_{t}) = 4 t^{2} + 9 (1 - t)^{2} - 6 t (1 - t) = 4 t^{2} + 9 - 18 t + 9 t^{2} - 6 t + 6 t^{2} = 19 t^{2} - 24 t + 9.$

Minimisation. C'est un polynôme de degré $2$ de coefficient dominant $19 > 0$ : il admet un minimum global au point où sa dérivée $38 t - 24$ s'annule, soit $t^{*} = \frac{12}{19} \approx 0, 632.$

La valeur minimale. $V (Z_{t^{*}}) = 19 (\frac{12}{19})^{2} - 24 \times \frac{12}{19} + 9 = \frac{144}{19} - \frac{288}{19} + 9 = 9 - \frac{144}{19} = \frac{27}{19} \approx 1, 42.$

Le point remarquable. Cette variance est inférieure à $4$ et à $9$ : le mélange est moins risqué que chacun des deux placements pris seul. C'est la covariance négative qui le permet — quand l'un baisse, l'autre a tendance à monter, et les écarts se compensent. Avec des rendements indépendants ( $Cov = 0$ ), on trouverait $t^{*} = \frac{9}{13}$ et une variance minimale de $\frac{36}{13} \approx 2, 77$ : nettement plus.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.