Deux sommes qui partagent un terme

Ce qu'on montre. Que le coefficient de corrélation vaut $\frac{1}{2}$, quel que soit $\sigma$.

La covariance. Par bilinéarité, $$\mathrm{Cov}(S,T)=\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Y)+\mathrm{Cov}(Y,Z).$$ Les variables étant deux à deux indépendantes et admettant une variance, les trois covariances entre variables distinctes sont nulles ; il reste $\mathrm{Cov}(S,T)=V(Y)={\sigma }^2$.

Les écarts-types. $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc $V(S)=V(X)+V(Y)=2{\sigma }^2$, et de même $V(T)=2{\sigma }^2$. Ainsi $\sigma (S)=\sigma (T)=\sigma \sqrt{2}$, qui est non nul puisque $\sigma >0$.

Conclusion. $$\rho (S,T)=\frac{{\sigma }^2}{\sigma \sqrt{2}\times \sigma \sqrt{2}}=\frac{{\sigma }^2}{2{\sigma }^2}=\frac{1}{2}.$$

Interprétation. Les deux sommes ont exactement une variable en commun sur les deux qui les composent : la corrélation vaut la proportion de « matière » partagée. On vérifie l'encadrement $|\rho |⩽1$, et l'on constate que la valeur $1$ n'est pas atteinte — ce qui est cohérent, car $S$ et $T$ ne sont pas liées par une relation affine.