Deux tailles à comparer

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Somme de variables à densité

Énoncé

Dans une population, la taille des hommes suit $N (175, 36)$ et celle des femmes $N (163, 25)$ , en centimètres. On tire un homme et une femme indépendamment. Calculer la probabilité que l'homme soit le plus grand. On donne $Φ (1, 54) = 0, 938$ .

Corrigé

Traduire la question. Notons $X$ la taille de l'homme et $Y$ celle de la femme. On cherche $P ([X > Y]) = P ([X - Y > 0])$ : tout revient à connaître la loi de $X - Y$ .

Loi de la différence. $- Y$ suit $N (- 163, 25)$ : l'espérance change de signe, la variance est multipliée par $(- 1)^{2} = 1$ . Les deux variables étant indépendantes, la stabilité de la loi normale par somme donne $X - Y ↪ N (175 - 163, 36 + 25) = N (12, 61) .$ On additionne bien les variances, jamais les écarts-types.

Centrer et réduire. Avec $σ = 61 \approx 7, 81$ , la variable $U = \frac{( X - Y ) - 12}{61}$ suit $N (0, 1)$ , et $P ([X - Y > 0]) = P ([U > \frac{- 12}{61}]) = P ([U > - 1, 54]) = Φ (1, 54) = 0, 938.$ La dernière égalité utilise la symétrie de la loi normale centrée réduite : $P ([U > - a]) = P ([U < a]) = Φ (a)$ .

Conclusion. L'homme est le plus grand dans environ $93, 8 %$ des cas. L'écart des moyennes vaut $12$ , soit $1, 54$ écart-type de la différence : c'est ce rapport, et lui seul, qui fixe la réponse.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.