Deux variables indépendantes

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Covariance et corrélation

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ indépendantes, de variances $V (X) = 6$ et $V (Y) = 10$ . Donner $Cov (X, Y)$ , $ρ (X, Y)$ , puis $V (X + Y)$ et $V (X - Y)$ .

Corrigé

Covariance et corrélation. Deux variables indépendantes admettant un moment d'ordre $2$ vérifient $E (X Y) = E (X) E (Y)$ , donc par la formule de Huygens $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0,$ et par conséquent $ρ (X, Y) = \frac{0}{σ ( X ) σ ( Y )} = 0$ .

Les deux variances. $V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y) = 6 + 10 = 16,$ $V (X - Y) = V (X) + V (Y) - 2 Cov (X, Y) = 6 + 10 = 16.$

Ce qui frappe. La somme et la différence ont la même variance. C'est propre à l'indépendance : dès que la covariance est non nulle, les deux valeurs s'écartent l'une de l'autre, de $4 Cov (X, Y)$ exactement.

L'avertissement d'usage. La réciproque est fausse : une covariance nulle n'entraîne pas l'indépendance. La covariance ne détecte que le lien affine entre deux variables, et reste aveugle à tout autre.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.