Espérance d'une combinaison

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Espérance et variance d'une somme

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires d'espérances $E (X) = 4$ et $E (Y) = - 2$ . Calculer $E (3 X - 2 Y + 5)$ .

Corrigé

La propriété employée. L'espérance est linéaire, et l'espérance d'une constante est cette constante. Aucune hypothèse d'indépendance n'est requise : c'est le point à retenir.

Le calcul. $E (3 X - 2 Y + 5) = 3 E (X) - 2 E (Y) + 5 = 3 \times 4 - 2 \times (- 2) + 5 = 12 + 4 + 5 = 21.$

Ce qu'il faut noter. Le signe $- 2$ devant $Y$ combiné à $E (Y) = - 2$ donne un apport positif de $4$ : c'est l'erreur de signe la plus fréquente.

Le contraste avec la variance. Pour l'espérance, on n'a besoin de rien. Pour la variance, en revanche, $V (3 X - 2 Y + 5)$ vaudrait $9 V (X) + 4 V (Y) - 12 Cov (X, Y)$ : la constante disparaît, les coefficients passent au carré, et il faut connaître la covariance — ou savoir les variables indépendantes.

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