Espérance et variance d'une somme

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Espérance et variance d'une somme

Énoncé

Soient $X_{1}, \dots, X_{5}$ indépendantes, de même loi, d'espérance $3$ et de variance $2$ . Calculer $E (S)$ et $V (S)$ où $S = X_{1} + \dots + X_{5}$ .

Corrigé

Espérance. Par linéarité, sans hypothèse : $E (S) = 5 \times 3 = 15$ .

Variance. Les variables étant indépendantes, les covariances sont nulles : $V (S) = 5 \times 2 = 10$ .

Écart-type. $σ (S) = 10 \approx 3, 16$ , à comparer à $σ (X_{i}) = 2 \approx 1, 41$ . La dispersion croît, mais moins vite que la somme : $5 \approx 2, 24$ fois seulement.

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