L'écart à la moyenne

La première covariance. Par bilinéarité,

$$\mathrm{Cov}(X_1,\overline{X})=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\mathrm{Cov}(X_1,X_j).$$

Les variables étant indépendantes, tous les termes d'indice $j\ne 1$ sont nuls, et celui d'indice $j=1$ vaut $\mathrm{Cov}(X_1,X_1)=V(X_1)={\sigma }^2$. Donc

$$\mathrm{Cov}(X_1,\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}.$$

La variance de la moyenne. Toujours par indépendance, $V\left(\overline{X}\right)=\frac{1}{n^2}\times n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}$.

La seconde covariance. Par bilinéarité encore, et parce que $\mathrm{Cov}(\overline{X},\overline{X})=V\left(\overline{X}\right)$ :

$$\mathrm{Cov}(X_1-\overline{X},\overline{X})=\mathrm{Cov}(X_1,\overline{X})-V\left(\overline{X}\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}-\frac{{\sigma }^2}{n}=0.$$

Le point à retenir. L'écart d'une observation à la moyenne n'est pas corrélé à cette moyenne : c'est ce qui permet, en statistique, de séparer ce qui mesure le niveau de ce qui mesure la dispersion. Une covariance nulle n'est pourtant pas l'indépendance — ces deux variables-là sont manifestement liées.