La convolution de deux exponentielles

La formule. Une densité de $Z$ est donnée par $h(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(t)f_Y(z-t)\mathrm{d}t$, avec $f_X(t)={\mathrm{e}}^{-t}$ pour $t>0$ et $0$ sinon — densité bornée, donc l'hypothèse du théorème est satisfaite.

Le domaine. L'intégrande n'est non nul que si $t>0$ et $z-t>0$, c'est-à-dire $0<t<z$. Si $z⩽0$, ce domaine est vide et $h(z)=0$.

Pour $z>0$.

$$h(z)={\int }_0^z{\mathrm{e}}^{-t}{\mathrm{e}}^{-(z-t)}\mathrm{d}t={\int }_0^z{\mathrm{e}}^{-z}\mathrm{d}t=z{\mathrm{e}}^{-z},$$

les deux exponentielles se recombinant en une quantité constante vis-à-vis de $t$.

La loi. Comme $\Gamma (2)=1!=1$, la densité de $\gamma (2)$ est $t\mapsto t{\mathrm{e}}^{-t}$ sur $]0,+\infty [$ : donc $Z\hookrightarrow \gamma (2)$. C'est la stabilité de la loi $\gamma$, $\mathcal{E}(1)$ n'étant autre que $\gamma (1)$. Contrôle : $E(Z)=V(Z)=2$, conformément à la linéarité et à l'indépendance.

Le point à retenir. Toute la difficulté d'une convolution est le domaine d'intégration : on écrit les deux conditions de positivité, on les croise, et le calcul suit tout seul.