La convolution de deux uniformes

La formule. $h(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(t)f_Y(z-t)\mathrm{d}t$. Or $f_X(t)=1$ si $t\in [0,1]$ et $f_Y(z-t)=1$ si $z-1⩽t⩽z$. L'intégrande vaut donc $1$ sur l'intersection des deux intervalles, et $0$ ailleurs : $h(z)$ est la longueur de cette intersection.

Discussion.

• Si $0⩽z⩽1$ : l'intersection est $[0,z]$, de longueur $z$.
• Si $1<z⩽2$ : elle vaut $[z-1,1]$, de longueur $2-z$.
• Sinon elle est vide.

$$h(z)=\{\begin{array}{ll}z& \text{si }0⩽z⩽1,\\ 2-z& \text{si }1<z⩽2,\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$$

Contrôle. C'est un triangle de base $2$ et de hauteur $1$, d'aire $\frac{2\times 1}{2}=1$. Et $E(Z)=1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$. La loi obtenue s'appelle la loi triangulaire — la somme de deux uniformes n'est pas uniforme.