La moyenne de deux mesures normales

La somme. Une somme de variables indépendantes suivant des lois normales suit une loi normale, les espérances et les variances s'ajoutant : $$X+Y\hookrightarrow \mathcal{N}(10+10,4+4)=\mathcal{N}(20,8).$$

La moyenne. Multiplier par $\frac{1}{2}$ conserve le caractère normal, divise l'espérance par $2$ et la variance par $4$ : $$M\hookrightarrow \mathcal{N}\left(10,\frac{8}{4}\right)=\mathcal{N}(10,2).$$

Espérance et écart-type. $E(M)=10$ et $\sigma (M)=\sqrt{2}\approx 1,41$.

Ce qu'on gagne. Chaque mesure isolée a un écart-type de $\sqrt{4}=2$ ; leur moyenne descend à $1,41$, soit une division par $\sqrt{2}$. Moyenner ne déplace pas la cible — l'espérance reste $10$ — mais resserre la dispersion, et c'est exactement ce qu'on attend d'une mesure répétée.