La moyenne de deux mesures normales

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Stabilité et moyennes

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ indépendantes, de même loi $N (10, 4)$ . Donner la loi de $M = \frac{X + Y}{2}$ , ainsi que son espérance et son écart-type.

Corrigé

La somme. Une somme de variables indépendantes suivant des lois normales suit une loi normale, les espérances et les variances s'ajoutant : $X + Y ↪ N (10 + 10, 4 + 4) = N (20, 8) .$

La moyenne. Multiplier par $\frac{1}{2}$ conserve le caractère normal, divise l'espérance par $2$ et la variance par $4$ : $M ↪ N (10, \frac{8}{4}) = N (10, 2) .$

Espérance et écart-type. $E (M) = 10$ et $σ (M) = 2 \approx 1, 41$ .

Ce qu'on gagne. Chaque mesure isolée a un écart-type de $4 = 2$ ; leur moyenne descend à $1, 41$ , soit une division par $2$ . Moyenner ne déplace pas la cible — l'espérance reste $10$ — mais resserre la dispersion, et c'est exactement ce qu'on attend d'une mesure répétée.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.