La moyenne de quatre mesures

n-uplets de variables aléatoires · Stabilité des lois normale et gamma · niveau 2

Énoncé

Soient $X_{1}, \dots, X_{4}$ indépendantes de loi $N (100, 25)$ et $X = \frac{1}{4} (X_{1} + \dots + X_{4})$ . Donner la loi de $X$ , puis calculer $P ([X - 100 ⩽ 4, 9])$ . On donne $Φ (1, 96) = 0, 975$ .

Corrigé

La somme. Par stabilité de la loi normale pour la somme de variables indépendantes,

$S = X_{1} + \dots + X_{4} ↪ N (400, 100) .$

La moyenne. $X = \frac{1}{4} S$ est une transformée affine d'une loi normale, donc suit encore une loi normale :

$X ↪ N (\frac{400}{4}, \frac{100}{16}) = N (100, 6, 25), σ (X) = 2, 5.$

La probabilité. En centrant et réduisant, $\frac{X - 100}{2 , 5} ↪ N (0, 1)$ , et $4, 9 = 1, 96 \times 2, 5$ . Donc

$P ([X - 100 ⩽ 4, 9]) = Φ (1, 96) - Φ (- 1, 96) = 2 Φ (1, 96) - 1 = 0, 95,$

en utilisant $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$ .

Le point à retenir. Une mesure isolée a un écart-type de $5$ , leur moyenne de $2, 5$ : moyenner $n$ mesures divise l'écart-type par $n$ , jamais par $n$ . C'est le seul argument qui justifie de répéter une expérience.

Énoncé

Corrigé

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