La moyenne de quatre mesures

La somme. Par stabilité de la loi normale pour la somme de variables indépendantes,

$$S=X_1+\cdots +X_4\hookrightarrow \mathcal{N}(400,100).$$

La moyenne. $\overline{X}=\frac{1}{4}S$ est une transformée affine d'une loi normale, donc suit encore une loi normale :

$$\overline{X}\hookrightarrow \mathcal{N}\left(\frac{400}{4},\frac{100}{16}\right)=\mathcal{N}(100,6,25),\sigma \left(\overline{X}\right)=2,5.$$

La probabilité. En centrant et réduisant, $\frac{\overline{X}-100}{2,5}\hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$, et $4,9=1,96\times 2,5$. Donc

$$P\left(\right[|\overline{X}-100|⩽4,9\left]\right)=\Phi (1,96)-\Phi (-1,96)=2\Phi (1,96)-1=0,95,$$

en utilisant $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$.

Le point à retenir. Une mesure isolée a un écart-type de $5$, leur moyenne de $2,5$ : moyenner $n$ mesures divise l'écart-type par $\sqrt{n}$, jamais par $n$. C'est le seul argument qui justifie de répéter une expérience.