La pondération la moins dispersée

L'espérance. Par linéarité, sans aucune hypothèse d'indépendance, $E(Z_t)=tm+(1-t)m=m$ : toutes ces combinaisons visent la même cible. C'est donc la dispersion, et elle seule, qui les départage.

La variance. Les variables étant indépendantes, leur covariance est nulle, et $$V(Z_t)=t^2{\sigma }_1^2+(1-t{)}^2{\sigma }_2^2.$$

Minimisation. La fonction $\phi (t)=t^2{\sigma }_1^2+(1-t{)}^2{\sigma }_2^2$ est polynomiale de degré $2$, de coefficient dominant ${\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2>0$ : elle admet un minimum global, atteint là où sa dérivée s'annule. Or $${\phi }^{\prime }(t)=2t{\sigma }_1^2-2(1-t){\sigma }_2^2=2t({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)-2{\sigma }_2^2,$$ qui s'annule en $$t^{\ast }=\frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}.$$

La valeur minimale. En reportant, $$V(Z_{t^{\ast }})=\frac{{\sigma }_2^4{\sigma }_1^2+{\sigma }_1^4{\sigma }_2^2}{({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2{)}^2}=\frac{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2},$$ qui est strictement inférieure à ${\sigma }_1^2$ et à ${\sigma }_2^2$.

Ce qu'il faut lire. Le poids d'une mesure est inversement proportionnel à sa variance : la moins précise pèse le moins. Et combiner deux mesures est toujours strictement meilleur que garder la meilleure des deux.