La somme et la différence

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Covariance, bilinéarité et corrélation

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires admettant chacune une variance. Calculer $Cov (X + Y, X - Y)$ en fonction de $V (X)$ et $V (Y)$ , puis dire à quelle condition $X + Y$ et $X - Y$ sont non corrélées.

Corrigé

Ce qu'on emploie. La covariance est bilinéaire et symétrique, et $Cov (Z, Z) = V (Z)$ .

Le calcul. En développant par bilinéarité, d'abord sur la première variable puis sur la seconde : $Cov (X + Y, X - Y) = Cov (X, X) - Cov (X, Y) + Cov (Y, X) - Cov (Y, Y) .$ Les deux termes croisés sont égaux par symétrie, donc ils se détruisent : $Cov (X + Y, X - Y) = V (X) - V (Y) .$

La condition. Deux variables sont non corrélées lorsque leur covariance est nulle, c'est-à-dire ici lorsque $V (X) = V (Y)$ .

Ce qu'il faut en retenir. Le résultat ne fait intervenir ni $Cov (X, Y)$ , ni l'indépendance : même très liées, deux variables de même variance donnent une somme et une différence non corrélées. Et non corrélées ne veut pas dire indépendantes : si $X$ suit la loi uniforme sur ${- 1, 1}$ et $Y = - X$ , alors $X + Y = 0$ et $X - Y = 2 X$ , qui sont bien non corrélées — l'une étant constante — sans que le lien entre $X$ et $Y$ ait rien d'anodin.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.