Le coefficient de corrélation

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Covariance et corrélation

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ telles que $V (X) = 4$ , $V (Y) = 9$ et $Cov (X, Y) = 3$ . Calculer $ρ (X, Y)$ , puis $ρ (2 X + 1, - 3 Y)$ .

Corrigé

Le coefficient. Les écarts-types valent $σ (X) = 2$ et $σ (Y) = 3$ , donc

$ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{σ ( X ) σ ( Y )} = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{1}{2} .$

La valeur appartient bien à $[- 1, 1]$ , comme le théorème l'exige.

Après transformation affine. La covariance est bilinéaire, et une constante n'y contribue pas :

$Cov (2 X + 1, - 3 Y) = 2 \times (- 3) \times Cov (X, Y) = - 18.$

Les écarts-types se transforment avec la valeur absolue : $σ (2 X + 1) = 2 σ (X) = 4$ et $σ (- 3 Y) = 3 σ (Y) = 9$ . D'où

$ρ (2 X + 1, - 3 Y) = \frac{- 18}{4 \times 9} = - \frac{1}{2} .$

Le point à retenir. Le coefficient de corrélation ne change qu'au signe près par transformation affine : il ne dépend ni de l'unité ni de l'origine choisies, seulement du lien linéaire entre les deux variables. Le signe suit celui du produit des deux coefficients directeurs — ici $2 \times (- 3) < 0$ .

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