Le lemme des coalitions

Indépendance. $U$ est fonction de $(X_1,X_2)$ et $W$ de $(X_3,X_4)$ : par le lemme des coalitions, $U$ et $W$ sont indépendantes. Donc $E(UW)=E(U)E(W)$.

$E(U)$. Par linéarité, $E(U)=1+1=2$.

$E(W)$. $P([W⩽t])=(1-{\mathrm{e}}^{-t}{)}^2$ pour $t⩾0$, donc en dérivant $f_W(t)=2{\mathrm{e}}^{-t}(1-{\mathrm{e}}^{-t})=2{\mathrm{e}}^{-t}-2{\mathrm{e}}^{-2t}$. D'où

$$E(W)={\int }_0^{+\infty }t(2{\mathrm{e}}^{-t}-2{\mathrm{e}}^{-2t})\mathrm{d}t=2\times 1-2\times \frac{1}{4}=\frac{3}{2}.$$

(On a utilisé ${\int }_0^{+\infty }t{\mathrm{e}}^{-at}\mathrm{d}t=\frac{1}{a^2}$.)

Conclusion. $E(UW)=2\times \frac{3}{2}=3$.

Contrôle de bon sens. $E(W)=1,5>E(X_3)=1$ : le maximum de deux attentes dépasse en moyenne une attente seule. Cohérent.