Le minimum de plusieurs attentes

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Indépendance et lemme des coalitions

Énoncé

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ mutuellement indépendantes, de loi exponentielle de paramètre $λ > 0$ , et $m_{n} = min (X_{1}, \dots, X_{n})$ . Déterminer la loi de $m_{n}$ , puis son espérance.

Corrigé

Le bon événement. Un minimum dépasse $t$ si et seulement si toutes les variables dépassent $t$ : pour $t ⩾ 0$ , $[m_{n} > t] = i = 1 ⋂ n [X_{i} > t] .$ C'est l'intersection qu'il faut viser, car c'est elle que l'indépendance sait factoriser — l'événement $[m_{n} ⩽ t]$ , lui, est une réunion.

Le calcul. Par indépendance mutuelle, puis avec $P ([X_{i} > t]) = e^{- λ t}$ : $P ([m_{n} > t]) = i = 1 \prod n P ([X_{i} > t]) = (e^{- λ t})^{n} = e^{- nλ t} .$ Donc, pour $t ⩾ 0$ , $F_{m_{n}} (t) = 1 - e^{- nλ t}$ , et $F_{m_{n}} (t) = 0$ pour $t < 0$ puisque $m_{n} ⩾ 0$ .

Conclusion. On reconnaît la fonction de répartition d'une loi exponentielle : $m_{n}$ suit la loi $E (nλ)$ , d'où $E (m_{n}) = \frac{1}{nλ} .$

Interprétation. Attendre le premier de $n$ événements indépendants va $n$ fois plus vite qu'attendre un seul. Noter que le résultat vaut pour la loi exponentielle et pour elle seule : c'est sa fonction de répartition, très particulière, qui reste de la même forme après élévation à la puissance $n$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.