Lire une covariance sur une variance

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Covariance et corrélation

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ telles que $V (X) = 7$ , $V (Y) = 9$ et $V (X + Y) = 20$ . Calculer $Cov (X, Y)$ , puis $V (X - Y)$ . Les variables sont-elles indépendantes ?

Corrigé

La relation employée. $V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y)$ , qui est une identité, valable sans aucune hypothèse.

La covariance. En isolant le terme cherché : $2 Cov (X, Y) = V (X + Y) - V (X) - V (Y) = 20 - 7 - 9 = 4, Cov (X, Y) = 2.$

La variance de la différence. $V (X - Y) = V (X) + V (Y) - 2 Cov (X, Y) = 7 + 9 - 4 = 12.$

Indépendantes ? Non : deux variables indépendantes ont une covariance nulle, or celle-ci vaut $2$ . La contraposée conclut. En revanche, si la covariance avait été nulle, on n'aurait rien pu conclure — l'implication ne se retourne pas.

Contrôle. $ρ (X, Y) = \frac{2}{7 9} = \frac{2}{3 7} \approx 0, 25$ , bien situé dans $[- 1, 1]$ : les données sont cohérentes.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.