Lire une covariance sur une variance

La relation employée. $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$, qui est une identité, valable sans aucune hypothèse.

La covariance. En isolant le terme cherché : $$2\mathrm{Cov}(X,Y)=V(X+Y)-V(X)-V(Y)=20-7-9=4,\mathrm{Cov}(X,Y)=2.$$

La variance de la différence. $$V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y)=7+9-4=12.$$

Indépendantes ? Non : deux variables indépendantes ont une covariance nulle, or celle-ci vaut $2$. La contraposée conclut. En revanche, si la covariance avait été nulle, on n'aurait rien pu conclure — l'implication ne se retourne pas.

Contrôle. $\rho (X,Y)=\frac{2}{\sqrt{7}\sqrt{9}}=\frac{2}{3\sqrt{7}}\approx 0,25$, bien situé dans $[-1,1]$ : les données sont cohérentes.