Somme de lois gamma

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Stabilité des lois normale et gamma

Énoncé

Soient $X_{1}, \dots, X_{4}$ indépendantes de loi $E (1)$ . Donner la loi de $S = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4}$ , son espérance et sa variance.

Corrigé

Une $E (1)$ est une $γ (1)$ . Par stabilité, $S ↪ γ (4)$ .

Moments. Pour une $γ (ν)$ , $E = V = ν$ , donc $E (S) = 4$ et $V (S) = 4$ .

Contrôle direct. $E (X_{i}) = 1$ et $V (X_{i}) = 1$ , donc par linéarité et indépendance $E (S) = 4$ et $V (S) = 4$ . Les deux chemins concordent.

Densité. $f_{S} (t) = \frac{t ^{3} e ^{- t}}{3 !}$ sur $] 0, + \infty [$ . Elle s'annule en $0$ et culmine en $t = 3$ .

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