Somme de lois normales

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Stabilité des lois normale et gamma

Énoncé

Soient $X ↪ N (2, 9)$ et $Y ↪ N (- 1, 16)$ , indépendantes. Donner la loi de $X + Y$ , puis celle de $2 X - Y$ .

Corrigé

$X + Y$ . Par stabilité, $X + Y ↪ N (2 - 1, 9 + 16) = N (1, 25)$ , donc d'écart-type $5$ .

$2 X - Y$ . On applique d'abord la transformation affine : $2 X ↪ N (4, 36)$ et $- Y ↪ N (1, 16)$ — attention, la variance est multipliée par $(- 1)^{2} = 1$ . Puis, par indépendance et stabilité :

$2 X - Y ↪ N (4 + 1, 36 + 16) = N (5, 52) .$

Le piège. On additionne toujours les variances, jamais les écarts-types : $52 \approx 7, 21$ et non $6 + 4 = 10$ .

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