mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 8 · Exercice

Somme de lois normales

n-uplets de variables aléatoires · Stabilité des lois normale et gamma · niveau 2

Énoncé

Soient $X ↪ N (2, 9)$ et $Y ↪ N (- 1, 16)$ , indépendantes. Donner la loi de $X + Y$ , puis celle de $2 X - Y$ .

Corrigé

$X + Y$ . Par stabilité, $X + Y ↪ N (2 - 1, 9 + 16) = N (1, 25)$ , donc d'écart-type $5$ .

$2 X - Y$ . On applique d'abord la transformation affine : $2 X ↪ N (4, 36)$ et $- Y ↪ N (1, 16)$ — attention, la variance est multipliée par $(- 1)^{2} = 1$ . Puis, par indépendance et stabilité :

$2 X - Y ↪ N (4 + 1, 36 + 16) = N (5, 52) .$

Le piège. On additionne toujours les variances, jamais les écarts-types : $52 \approx 7, 21$ et non $6 + 4 = 10$ .

Exercices semblables

Le lemme des coalitions corrigé
La convolution de deux uniformes corrigé
La convolution de deux exponentielles corrigé
Somme de lois gamma corrigé
La moyenne de quatre mesures corrigé

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre