Trois attentes cumulées

La loi de $S$. Une loi $\mathcal{E}(1)$ est exactement une loi $\gamma (1)$. Par stabilité de la famille gamma pour la somme de variables indépendantes, $S$ suit la loi $\gamma (3)$, de densité $$f_S(t)=\frac{t^2{\mathrm{e}}^{-t}}{2!}=\frac{t^2{\mathrm{e}}^{-t}}{2}\text{sur }\left]0,+\infty \right[,$$ et nulle ailleurs.

Le calcul. On intègre deux fois par parties, en dérivant la puissance : $$P([S⩽1])={\int }_0^1\frac{t^2{\mathrm{e}}^{-t}}{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\left([-t^2{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^1+{\int }_0^{1}2t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\right)=\frac{1}{2}\left(-{\mathrm{e}}^{-1}+2{\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t\right).$$ Puis ${\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^1+{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=-{\mathrm{e}}^{-1}+1-{\mathrm{e}}^{-1}=1-2{\mathrm{e}}^{-1}$.

Conclusion. $$P([S⩽1])=\frac{1}{2}(-{\mathrm{e}}^{-1}+2-4{\mathrm{e}}^{-1})=1-\frac{5}{2\mathrm{e}}\approx 0,0803.$$

Contrôle de bon sens. $E(S)=3$ : il est normal que la somme dépasse $1$ dans plus de $90\%$ des cas. Une seule attente $\mathcal{E}(1)$ serait inférieure à $1$ avec probabilité $1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,63$ ; cumuler trois attentes rend l'événement bien plus rare.