Trois corrélations immédiates

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Covariance et corrélation

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire de variance non nulle. Calculer $ρ (X, X)$ , $ρ (X, - X)$ et $Cov (X, 5)$ .

Corrigé

Premier calcul. $Cov (X, X) = V (X)$ par définition, donc $ρ (X, X) = \frac{V ( X )}{σ ( X ) σ ( X )} = \frac{V ( X )}{V ( X )} = 1.$ Le quotient a un sens car $V (X) \neq = 0$ .

Deuxième calcul. Par bilinéarité, $Cov (X, - X) = - V (X)$ , et $σ (- X) = ∣ - 1∣ σ (X) = σ (X)$ . Donc $ρ (X, - X) = \frac{- V ( X )}{σ ( X ) ^{2}} = - 1.$

Troisième calcul. Une constante a une espérance égale à elle-même, donc $Cov (X, 5) = E ((X - E (X)) (5 - 5)) = E (0) = 0.$

Ce que ces trois valeurs illustrent. Les bornes $\pm 1$ du coefficient de corrélation sont atteintes exactement dans le cas d'une relation affine $Y = a X + b$ : le signe de $ρ$ est celui de $a$ . Et une constante n'est corrélée à rien, ce qui explique pourquoi le terme constant disparaît toujours d'un calcul de covariance.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.