Trois corrélations immédiates

Premier calcul. $\mathrm{Cov}(X,X)=V(X)$ par définition, donc $$\rho (X,X)=\frac{V(X)}{\sigma (X)\sigma (X)}=\frac{V(X)}{V(X)}=1.$$ Le quotient a un sens car $V(X)\ne 0$.

Deuxième calcul. Par bilinéarité, $\mathrm{Cov}(X,-X)=-V(X)$, et $\sigma (-X)=|-1|\sigma (X)=\sigma (X)$. Donc $$\rho (X,-X)=\frac{-V(X)}{\sigma (X{)}^2}=-1.$$

Troisième calcul. Une constante a une espérance égale à elle-même, donc $$\mathrm{Cov}(X,5)=E((X-E(X))(5-5))=E(0)=0.$$

Ce que ces trois valeurs illustrent. Les bornes $\pm 1$ du coefficient de corrélation sont atteintes exactement dans le cas d'une relation affine $Y=aX+b$ : le signe de $\rho$ est celui de $a$. Et une constante n'est corrélée à rien, ce qui explique pourquoi le terme constant disparaît toujours d'un calcul de covariance.