Trois mesures d'inégale précision

Les deux estimations visent la même valeur. Les coefficients somment à $1$ dans les deux cas ($\frac{1}{3}\times 3=1$ et $\frac{6+3+2}{11}=1$), donc par linéarité les deux combinaisons ont pour espérance $m$. Seule la variance les distingue.

Variance de la moyenne arithmétique. Par indépendance, $$V\left(\frac{X_1+X_2+X_3}{3}\right)=\frac{1}{9}({\sigma }^2+2{\sigma }^2+3{\sigma }^2)=\frac{6{\sigma }^2}{9}=\frac{2{\sigma }^2}{3}\approx 0,667{\sigma }^2.$$

Variance de la combinaison pondérée. Toujours par indépendance, chaque coefficient entre au carré : $$V\left(\frac{6X_1+3X_2+2X_3}{11}\right)=\frac{6^2{\sigma }^2+3^2\times 2{\sigma }^2+2^2\times 3{\sigma }^2}{121}=\frac{36+18+12}{121}{\sigma }^2=\frac{66}{121}{\sigma }^2=\frac{6{\sigma }^2}{11}\approx 0,545{\sigma }^2.$$

Conclusion. $\frac{6}{11}<\frac{2}{3}$ : la combinaison pondérée est strictement moins dispersée, d'environ $18\%$.

D'où viennent ces poids. Ils sont proportionnels à $\frac{1}{{\sigma }^2},\frac{1}{2{\sigma }^2},\frac{1}{3{\sigma }^2}$, c'est-à-dire à $6,3,2$ après multiplication par $6{\sigma }^2$ : chaque appareil pèse l'inverse de sa variance. On retrouve, à trois mesures, la règle déjà lisible sur deux — faire confiance à une mesure proportionnellement à sa précision.