Une combinaison de trois variables

La formule employée. Pour des réels $a_1,a_2,a_3$, la bilinéarité de la covariance donne $$V\left(\sum _{i=1}^3{a}_i{X}_i\right)=\sum _{i=1}^3{a}_i^{2}V(X_i)+2\sum _{i<j}{a}_i{a}_j\mathrm{Cov}(X_i,X_j).$$ Aucune hypothèse d'indépendance n'est nécessaire : c'est un développement algébrique.

Les termes carrés. Avec $a_1=1$, $a_2=-2$, $a_3=1$ : $$1^2\times 2+(-2{)}^2\times 5+1^2\times 3=2+20+3=25.$$

Les termes croisés. $$2[a_1{a}_2\mathrm{Cov}(X_1,X_2)+a_1{a}_3\mathrm{Cov}(X_1,X_3)+a_2{a}_3\mathrm{Cov}(X_2,X_3)]$$ $$=2[(-2)\times 1+1\times (-2)+(-2)\times 0]=2\times (-4)=-8.$$

Conclusion. $V(X_1-2X_2+X_3)=25-8=17$.

Le point délicat. Le coefficient $-2$ entre au carré dans le premier bloc — la variance ne voit pas le signe — mais au premier degré dans le second, où il retourne le signe de la covariance. C'est ce croisement de signes qui rend le résultat inférieur à la somme des variances.