Une somme de dix variables

L'espérance. La linéarité s'applique sans hypothèse : $$E(S)=\sum _{i=1}^{10}E(X_i)=10\times 2=20.$$

La variance. C'est ici que l'indépendance mutuelle sert : toutes les covariances entre variables distinctes sont nulles, donc les variances s'ajoutent : $$V(S)=\sum _{i=1}^{10}V(X_i)=10\times 5=50.$$

L'écart-type. $\sigma (S)=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7,07$.

Ce que les deux nombres disent. L'espérance a été multipliée par $10$, l'écart-type seulement par $\sqrt{10}\approx 3,16$ : il passe de $\sqrt{5}\approx 2,24$ à $7,07$. Rapportée à sa moyenne, la somme est donc moins dispersée que chaque terme — le rapport $\sigma /E$ passe de $1,12$ à $0,35$. C'est ce phénomène de compensation qui fera, au chapitre 11, la loi des grands nombres.