Une uniforme et une exponentielle

La formule. $X$ admet une densité bornée, donc $$h(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(t)f_Y(z-t)\mathrm{d}t$$ est une densité de $Z$. Ici $f_X(t)=1$ si $t\in [0,1]$ et $0$ sinon, et $f_Y(s)={\mathrm{e}}^{-s}$ si $s⩾0$, $0$ sinon.

Le domaine d'intégration. L'intégrande n'est non nul que si $0⩽t⩽1$ et $t⩽z$. Comme $Z⩾0$, on a $h(z)=0$ pour $z<0$.

Premier cas : $0⩽z⩽1$. Le domaine est $[0,z]$ : $$h(z)={\int }_0^z{\mathrm{e}}^{-(z-t)}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-z}[{\mathrm{e}}^t{]}_0^z=1-{\mathrm{e}}^{-z}.$$

Second cas : $z>1$. Le domaine est $[0,1]$ tout entier : $$h(z)={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-(z-t)}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-z}(\mathrm{e}-1).$$

Contrôle. $h$ est continue en $z=1$ : les deux expressions y valent $1-{\mathrm{e}}^{-1}$. Et l'aire totale vaut ${\int }_0^1(1-{\mathrm{e}}^{-z})\mathrm{d}z+(\mathrm{e}-1){\int }_1^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-z}\mathrm{d}z=(1-(1-{\mathrm{e}}^{-1}))+(\mathrm{e}-1){\mathrm{e}}^{-1}=1$.