Une variable et la somme dont elle fait partie

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Covariance et corrélation

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ indépendantes, de même variance $σ^{2} > 0$ . On pose $S = X + Y$ . Calculer $ρ (X, S)$ , puis dire ce que devient ce coefficient pour une somme de $n$ variables indépendantes de même variance.

Corrigé

La covariance. Par bilinéarité de la covariance,

$Cov (X, S) = Cov (X, X) + Cov (X, Y) = V (X) + 0 = σ^{2},$

la seconde covariance étant nulle parce que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Les écarts-types. $σ (X) = σ$ , et l'indépendance donne $V (S) = V (X) + V (Y) = 2 σ^{2}$ , donc $σ (S) = σ 2$ .

Le coefficient.

$ρ (X, S) = \frac{σ ^{2}}{σ \times σ 2} = \frac{1}{2} \approx 0, 707,$

valeur indépendante de $σ$ — ce qui était prévisible, $ρ$ étant insensible aux changements d'échelle.

Avec $n$ variables. Le même calcul donne $Cov (X_{1}, S_{n}) = σ^{2}$ et $σ (S_{n}) = σ n$ , donc

$ρ (X_{1}, S_{n}) = \frac{1}{n} n \to + \infty 0.$

Le point à retenir. Une variable est fortement corrélée à une somme de deux termes, et de moins en moins à mesure que la somme grossit : chaque terme y pèse une part décroissante. La vitesse $1/ n$ est celle qu'on retrouvera dans toute la statistique.

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