mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 8 · Exercice

Variance d'une différence

n-uplets de variables aléatoires · Espérance et variance d'une somme · niveau 2

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ avec $V (X) = 5$ , $V (Y) = 8$ et $Cov (X, Y) = - 2$ . Calculer $V (X + Y)$ et $V (X - Y)$ .

Corrigé

$V (X + Y) = 5 + 8 + 2 \times (- 2) = 9, V (X - Y) = 5 + 8 - 2 \times (- 2) = 17.$

Remarque. La covariance étant négative, la somme est moins dispersée que la différence — et même moins que $Y$ seule. Deux actifs dont les rendements évoluent en sens contraire se compensent : c'est la diversification.

Contrôle. $ρ = \frac{- 2}{5 8} \approx - 0, 316$ , bien dans $[- 1, 1]$ .

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