Variance d'une moyenne

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Espérance et variance d'une somme

Énoncé

Soient $X_{1}, \dots, X_{5}$ indépendantes, de même loi, d'espérance $3$ et de variance $2$ , et $S = X_{1} + \dots + X_{5}$ . Calculer $E$ et $V$ de $X = \frac{S}{5}$ .

Corrigé

$E (X) = \frac{15}{5} = 3$ .

$V (X) = \frac{1}{25} V (S) = \frac{10}{25} = 0, 4$ , car $V (a Z) = a^{2} V (Z)$ .

Comparaison. $V (X_{i}) = 2$ et $V (X) = 0, 4$ : moyenner cinq observations divise la variance par $5$ . C'est le fondement de l'estimation, et l'écart-type ne décroît qu'en $1/ 5$ .

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