Variance d'une somme non indépendante

Par bilinéarité de la covariance,

$$V\left(\sum _{i=1}^3{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{3}V(X_i)+2\sum _{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=3{\sigma }^2+2\times 3c=3{\sigma }^2+6c,$$

puisqu'il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ paires.

Cas particuliers. Si $c=0$ (indépendance), on retrouve $3{\sigma }^2$. Si $c={\sigma }^2$ — le cas extrême où toutes les variables sont égales — on obtient $9{\sigma }^2=(3\sigma {)}^2$, ce qui est bien $V(3X_1)$.

Généralisation. Pour $n$ variables, $V(\sum X_i)=n{\sigma }^2+n(n-1)c$. Le second terme domine dès que $n$ est grand : une corrélation même faible entre un grand nombre de variables pèse plus que leurs variances individuelles.