Variance d'une somme non indépendante

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Espérance et variance d'une somme

Énoncé

Soient $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ de même variance $σ^{2}$ , avec $Cov (X_{i}, X_{j}) = c$ pour tous $i \neq = j$ . Calculer $V (X_{1} + X_{2} + X_{3})$ .

Corrigé

Par bilinéarité de la covariance,

$V (i = 1 \sum 3 X_{i}) = i = 1 \sum 3 V (X_{i}) + 2 i < j \sum Cov (X_{i}, X_{j}) = 3 σ^{2} + 2 \times 3 c = 3 σ^{2} + 6 c,$

puisqu'il y a $(2 3) = 3$ paires.

Cas particuliers. Si $c = 0$ (indépendance), on retrouve $3 σ^{2}$ . Si $c = σ^{2}$ — le cas extrême où toutes les variables sont égales — on obtient $9 σ^{2} = (3 σ)^{2}$ , ce qui est bien $V (3 X_{1})$ .

Généralisation. Pour $n$ variables, $V (\sum X_{i}) = n σ^{2} + n (n - 1) c$ . Le second terme domine dès que $n$ est grand : une corrélation même faible entre un grand nombre de variables pèse plus que leurs variances individuelles.

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