Variance d'une transformation affine

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 — n-uplets de variables aléatoires · Espérance et variance d'une somme

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire de variance $V (X) = 3$ . Calculer $V (2 X - 7)$ et $σ (2 X - 7)$ .

Corrigé

La règle. Pour tous réels $a$ et $b$ , $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ . La constante $b$ translate la variable sans modifier sa dispersion ; le coefficient $a$ intervient au carré, donc son signe est sans effet.

Le calcul. $V (2 X - 7) = 2^{2} \times 3 = 12, σ (2 X - 7) = 12 = 23 \approx 3, 46.$

Contrôle par l'écart-type. On a directement $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X) = 23$ , ce qui confirme le résultat, et rappelle que c'est bien $∣ a ∣$ — et non $a$ — qui apparaît.

Le piège classique. Écrire $V (2 X - 7) = 2 V (X) - 7$ mélange deux règles : celle de l'espérance, qui est affine, et celle de la variance, qui ne l'est pas. La variance est toujours positive ou nulle ; une formule qui peut rendre un nombre négatif est nécessairement fausse.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.