Variance d'une transformation affine

La règle. Pour tous réels $a$ et $b$, $V(aX+b)=a^{2}V(X)$. La constante $b$ translate la variable sans modifier sa dispersion ; le coefficient $a$ intervient au carré, donc son signe est sans effet.

Le calcul. $$V(2X-7)=2^2\times 3=12,\sigma (2X-7)=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3,46.$$

Contrôle par l'écart-type. On a directement $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)=2\sqrt{3}$, ce qui confirme le résultat, et rappelle que c'est bien $|a|$ — et non $a$ — qui apparaît.

Le piège classique. Écrire $V(2X-7)=2V(X)-7$ mélange deux règles : celle de l'espérance, qui est affine, et celle de la variance, qui ne l'est pas. La variance est toujours positive ou nulle ; une formule qui peut rendre un nombre négatif est nécessairement fausse.