Appartient, ou est inclus ?

Deux symboles, deux natures d'objets : $\in$ relie un élément à un ensemble, $\subset$ relie un ensemble à un ensemble. Les éléments de $E$ sont $a$, $b$, $c$ ; les éléments de $\mathcal{P}(E)$ sont les parties de $E$, donc des ensembles.

$a\in E$ : vraie. $a$ est bien l'un des trois éléments listés.

$\{a\}\in E$ : fausse. Les éléments de $E$ sont $a$, $b$ et $c$, pas l'ensemble $\{a\}$, qui est un objet différent de $a$.

$\{a\}\subset E$ : vraie. Tout élément de $\{a\}$ — il n'y en a qu'un, $a$ — appartient à $E$.

$\varnothing \subset E$ : vraie. L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble : il n'a aucun élément, donc aucun élément ne peut manquer à $E$.

$\varnothing \in \mathcal{P}(E)$ : vraie. $\varnothing$ est une partie de $E$, donc c'est un élément de l'ensemble des parties.

$\{a,b\}\in \mathcal{P}(E)$ : vraie. $\{a,b\}$ est une partie de $E$.

$c\in \mathcal{P}(E)$ : fausse. $c$ est un élément de $E$, pas une partie de $E$. C'est $\{c\}$ qui appartient à $\mathcal{P}(E)$.

La règle de lecture. Devant $\mathcal{P}(E)$, on ne met des accolades qu'une fois de plus qu'on ne le croit : $c\in E$, $\{c\}\subset E$, $\{c\}\in \mathcal{P}(E)$.