Composer deux fonctions affines

1. Les deux composées. On applique la définition $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ : c'est $f$ qui agit d'abord. $$(g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)-5=2x-4.$$ Dans l'autre sens, c'est $g$ qui agit d'abord : $$(f\circ g)(x)=f(x-5)=2(x-5)+1=2x-9.$$

2. Elles ne sont pas égales. Il suffit d'une valeur pour le prouver : en $x=0$, l'une vaut $-4$ et l'autre $-9$. On peut aussi comparer les expressions : elles ont le même coefficient $2$ mais des constantes différentes, donc leur différence vaut $5$ pour tout $x$.

La composition n'est pas commutative : l'ordre dans lequel on enchaîne deux transformations change le résultat, et $g\circ f$ se lit de droite à gauche.

3. La réciproque de $f$. Cherchons les antécédents d'un réel $y$ : l'équation $2x+1=y$ s'écrit $2x=y-1$, et comme $2\ne 0$ elle a une solution et une seule, $$x=\frac{y-1}{2}.$$ Chaque réel a donc exactement un antécédent : $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et $$f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}.$$

Contrôle. $f(4)=9$, et $f^{-1}(9)=\frac{8}{2}=4$ : on retrouve le point de départ, ce qui est exactement ce qu'on attend d'une réciproque.