Composer deux remises

1. Les deux composées. On lit de droite à gauche : dans $g\circ f$, c'est $f$ qui agit d'abord. $$(g\circ f)(p)=g(f(p))=0,85p-20,$$ $$(f\circ g)(p)=f(g(p))=0,85(p-20)=0,85p-17.$$

2. La comparaison. Les deux expressions ont le même coefficient $0,85$ et diffèrent seulement par la constante : $$(f\circ g)(p)-(g\circ f)(p)=-17-(-20)=3.$$ Cet écart vaut $3$ euros quel que soit $p$. Le prix payé est donc toujours plus bas avec $g\circ f$ : le client a intérêt à faire appliquer la remise d'abord, le bon ensuite.

L'explication tient en une phrase : dans $f\circ g$, le bon de $20$ euros subit lui aussi la remise et ne vaut plus que $0,85\times 20=17$ euros. On perd $3$ euros à faire réduire son propre bon.

3. La réciproque. Posons $h=g\circ f$, donc $h(p)=0,85p-20$. Cherchons les antécédents d'un réel $y$ : l'équation $0,85p-20=y$ s'écrit $0,85p=y+20$, et comme $0,85\ne 0$ elle a une solution et une seule, $$p=\frac{y+20}{0,85}.$$ Tout réel $y$ a donc exactement un antécédent : $h$ est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et $h^{-1}(y)=\frac{y+20}{0,85}$.

Contrôle. $h(100)=85-20=65$, et $h^{-1}(65)=\frac{85}{0,85}=100$. On retrouve le prix de départ, ce qui est la définition même de la réciproque.