Composer, et dans quel ordre

Raisonnement, ensembles et applications · Applications · niveau 3 (difficile)

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Soient $f (x) = x + 1$ et $g (x) = 3 x$ , de $R$ dans $R$ . Calculer $g \circ f$ et $f \circ g$ . Sont-elles égales ? Déterminer la réciproque de $g \circ f$ .

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Les deux composées.

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 1) = 3 (x + 1) = 3 x + 3,$

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (3 x) = 3 x + 1.$

Elles diffèrent. Pour $x = 0$ : $3$ d'un côté, $1$ de l'autre. La composition n'est donc pas commutative, et il faut lire $g \circ f$ de droite à gauche.

La réciproque. Résolvons $3 x + 3 = y$ : on obtient $x = \frac{y - 3}{3}$ , unique. Donc $g \circ f$ est bijective et $(g \circ f)^{- 1} (y) = \frac{y - 3}{3}$ .

Une remarque utile. On peut aussi écrire $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ : avec $f^{- 1} (y) = y - 1$ et $g^{- 1} (y) = \frac{y}{3}$ , on retrouve $\frac{y}{3} - 1 = \frac{y - 3}{3}$ . L'ordre s'inverse aussi dans la réciproque : on défait en commençant par la dernière opération faite.

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