Deux défauts et un effectif à retrouver

Notons $A$ l'ensemble des dossiers à pièce manquante et $B$ celui des dossiers à erreur de saisie. L'énoncé donne $\mathrm{Card}(A)=96$, $\mathrm{Card}(B)=74$ et $\mathrm{Card}(A\cup B)=145$, puisque « au moins l'un des deux défauts » est exactement la réunion.

Les deux défauts. La formule de Poincaré s'écrit $$\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B),$$ soit $145=96+74-\mathrm{Card}(A\cap B)$. D'où $\mathrm{Card}(A\cap B)=170-145=25$ : $25$ dossiers cumulent les deux défauts.

Un seul défaut. Les dossiers à pièce manquante seule sont $96-25=71$ ; ceux à erreur de saisie seule, $74-25=49$. Au total $71+49=120$ dossiers. On le retrouve autrement : $145-25=120$, la réunion privée de l'intersection.

Aucun défaut. Ce sont les dossiers hors de la réunion : $180-145=35$.

Contrôle. $25+120+35=180$ : les trois catégories se partagent bien tous les dossiers.

Le point à retenir. Poincaré se lit dans les deux sens : elle sert habituellement à calculer la réunion, mais elle donne tout aussi bien l'intersection quand c'est la réunion qui est connue.