Deux démonstrations d'un même énoncé

Par contraposée. La contraposée est : si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair. Écrivons $n=2k+1$ ; alors

$$n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1,$$

qui est impair. La contraposée est vraie, donc l'énoncé aussi.

Par l'absurde. Supposons $n^2$ pair et $n$ impair. De $n$ impair on tire, par le calcul ci-dessus, que $n^2$ est impair. Donc $n^2$ serait à la fois pair et impair : contradiction. L'hypothèse « $n$ impair » est donc à rejeter.

Comparaison. Les deux démonstrations font le même calcul. La différence est de mise en scène : la contraposée est une démonstration directe d'un autre énoncé, l'absurde ajoute une hypothèse pour la faire éclater. Sur un énoncé aussi simple, la contraposée est plus courte et plus claire.