Deux quantifications qui ne disent pas la même chose

1. $A$ est vraie. Soit $x$ un réel quelconque, fixé. Posons $y=1-x$ : c'est bien un réel, et $x+y=x+(1-x)=1$. Un tel $y$ existe donc pour chaque $x$ : $A$ est vraie. Remarquons que le $y$ trouvé dépend de $x$, ce qui est permis puisque le $\exists$ vient après le $\forall$.

$B$ est fausse. Elle affirmerait qu'un même réel $y$ convient pour tous les $x$ à la fois. Raisonnons par l'absurde : supposons qu'un tel $y$ existe. La propriété étant annoncée pour tout $x$, rien n'interdit de la spécialiser deux fois, en $x=0$ puis en $x=1$ : $$0+y=1\text{donne}y=1,1+y=1\text{donne}y=0.$$ Le même nombre $y$ vaudrait à la fois $1$ et $0$ : contradiction. Donc $B$ est fausse.

2. Les négations. On échange chaque quantificateur et l'on nie la conclusion : $$\text{non }A:\exists x\in \mathbb{R},\forall y\in \mathbb{R},x+y\ne 1,$$ $$\text{non }B:\forall y\in \mathbb{R},\exists x\in \mathbb{R},x+y\ne 1.$$ Conformément à la question 1, non $A$ est fausse et non $B$ est vraie — pour $y$ donné, $x=2-y$ convient, puisqu'alors $x+y=2\ne 1$.

Ce qu'il faut retenir. Les deux propositions emploient exactement les mêmes symboles ; seul leur ordre change, et il change tout.