Divisible par six, divisible par trois

1. L'implication. Supposons $P$ : il existe un entier $k$ tel que $n=6k$. Alors $n=3\times (2k)$, et $2k$ est un entier. Donc $n$ est divisible par $3$, c'est-à-dire $Q$. L'implication $P\Rightarrow Q$ est démontrée, directement.

2. La contraposée. On échange les deux propositions et on les nie :

> si $n$ n'est pas divisible par $3$, alors $n$ n'est pas divisible par $6$.

Elle a la même valeur de vérité que $P\Rightarrow Q$, donc elle est vraie. On peut aussi la lire directement : un nombre non multiple de $3$ ne peut pas s'écrire $6k$, puisque $6k$ est toujours multiple de $3$.

3. La réciproque. Elle s'écrit : « si $n$ est divisible par $3$, alors $n$ est divisible par $6$ ». Elle est fausse, et un seul contre-exemple suffit à l'abattre : $n=9$ est divisible par $3$, et $9=6\times 1,5$ n'est pas un multiple entier de $6$.

4. Nécessaire, suffisant. Comme $P\Rightarrow Q$ est vraie, être divisible par $6$ est une condition suffisante pour être divisible par $3$ ; et être divisible par $3$ est une condition nécessaire pour être divisible par $6$. Comme la réciproque est fausse, aucune des deux n'est nécessaire et suffisante à l'autre.

Le point délicat. La contraposée et la réciproque se ressemblent parce qu'on y échange $P$ et $Q$ ; mais la contraposée nie en plus les deux propositions, et c'est cette négation qui la rend toujours vraie en même temps que l'implication de départ.