Écrire une contraposée

La contraposée de « $P\Rightarrow Q$ » est « $\text{non }Q\Rightarrow \text{non }P$ » : on échange les deux propositions et on les nie. Elle a toujours la même valeur de vérité que l'implication de départ.

1. Si un client n'obtient pas de remise, alors il n'a pas réglé comptant.

2. Si $x^2\le 9$, alors $x\le 3$. La négation de « $x^2>9$ » est « $x^2\le 9$ », avec une inégalité large : nier une inégalité stricte donne une inégalité large de sens contraire, et l'on ne saute pas la valeur frontière.

3. Si la livraison n'est pas gratuite, alors la commande ne dépasse pas $100$ euros.

Le contrôle qui ne coûte rien. Reprenons la troisième : constater une livraison payante permet bien de conclure que la commande était inférieure ou égale à $100$ euros, sans quoi elle aurait été gratuite. La contraposée est vraie en même temps que l'implication — c'est ce qui la rend utile.

Un piège à éviter. « Si un client n'a pas réglé comptant, alors il n'obtient pas de remise » n'est pas la contraposée du 1 : c'est la contraposée de la réciproque, et rien n'oblige la réciproque à être vraie. Le magasin peut très bien accorder des remises pour d'autres raisons.