Image et antécédents

1. Les images. $f(3)=9-4=5$ et $f(-3)=9-4=5$. Deux nombres différents ont la même image : c'est permis pour une application, qui exige seulement que chaque $x$ ait une image.

2. Les antécédents. Chercher les antécédents d'un réel $y$, c'est résoudre $f(x)=y$, c'est-à-dire $x^2=y+4$.

Antécédents de $0$ : $x^2=4$, donc $x=2$ ou $x=-2$. Il y en a deux.

Antécédents de $5$ : $x^2=9$, donc $x=3$ ou $x=-3$. Il y en a deux, ce que la question 1 annonçait déjà.

Antécédents de $-9$ : $x^2=-5$, ce qui est impossible puisqu'un carré de réel n'est jamais strictement négatif. Il n'y en a aucun.

3. La bijection. Non. Une bijection exige que tout élément de l'ensemble d'arrivée admette un et un seul antécédent. Ici deux exigences sont violées à la fois : $-9$ n'en a aucun, et $5$ en a deux. Un seul de ces deux constats suffisait à conclure.

La lecture graphique. La courbe de $f$ est une parabole tournée vers le haut, de sommet $(0;-4)$ : les horizontales situées au-dessous de $y=-4$ ne la coupent pas, celles situées au-dessus la coupent en deux points.