La somme des cubes

Notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété à démontrer. On emploie le schéma du cours : initialisation, hérédité, conclusion.

Initialisation. Pour $n=1$, le membre de gauche vaut $1^3=1$ et celui de droite ${\left(\frac{1\times 2}{2}\right)}^2=1^2=1$. Les deux coïncident, donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n\ge 1$ fixé. Ajoutons $(n+1{)}^3$ aux deux membres : $$1^3+\cdots +n^3+(n+1{)}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}+(n+1{)}^3.$$ Le facteur $(n+1{)}^2$ est commun aux deux termes de droite : $$\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}+(n+1{)}^3=(n+1{)}^2\left(\frac{n^2}{4}+(n+1)\right)=(n+1{)}^2\cdot \frac{n^2+4n+4}{4}.$$ Or $n^2+4n+4=(n+2{)}^2$, identité remarquable. Donc la somme vaut $$\frac{(n+1{)}^2(n+2{)}^2}{4}={\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)}^2,$$ qui est bien la formule au rang $n+1$. Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n\ge 1$.

La remarque. Comme $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$, l'égalité démontrée dit que la somme des cubes est le carré de la somme des entiers. Pour $n=4$ : $1+8+27+64=100$ et $(1+2+3+4{)}^2=10^2=100$.