Les parties d'un ensemble

Raisonnement, ensembles et applications · Ensembles et parties · niveau 2

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Soit $E = {1, 2, 3}$ . Écrire $P (E)$ . Combien d'éléments a-t-il ? Les propositions suivantes sont-elles vraies : $1 \in P (E)$ , ${1} \in P (E)$ , ${1} \subset E$ , $\emptyset \in P (E)$ ?

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Les parties.

$P (E) = {\emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}},$

soit 8 éléments.

$1 \in P (E)$ : FAUX. Les éléments de $P (E)$ sont des ensembles ; $1$ est un nombre.

${1} \in P (E)$ : VRAI. ${1}$ est bien une partie de $E$ .

${1} \subset E$ : VRAI. C'est la même chose dite autrement : $A \subset E$ équivaut à $A \in P (E)$ .

$\emptyset \in P (E)$ : VRAI. L'ensemble vide est une partie de tout ensemble.

Le piège. $\in$ et $\subset$ ne se remplacent pas l'un l'autre : le premier relie un élément à un ensemble, le second deux ensembles.

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