Lois de Morgan sur un cas

Raisonnement, ensembles et applications · Ensembles et parties · niveau 2

Énoncé

Dans $E = {1, 2, \dots, 10}$ , on pose $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ et $B = {4, 5, 6, 7}$ . Calculer $A \cup B$ et $A \cap B$ , puis conclure.

Corrigé

Réunion. $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ , donc $A \cup B = {8, 9, 10}$ .

Complémentaires. $A = {6, 7, 8, 9, 10}$ et $B = {1, 2, 3, 8, 9, 10}$ , donc $A \cap B = {8, 9, 10}$ .

Conclusion. Les deux ensembles sont égaux, comme l'annonce la première loi de Morgan.

L'autre loi. $A \cap B = {4, 5}$ , donc $A \cap B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}$ ; et $A \cup B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}$ . Elles coïncident également.

Attention. Un exemple ne démontre pas une loi ; il permet seulement de vérifier qu'on ne s'est pas trompé de sens. La démonstration est celle du cours.

Énoncé

Corrigé

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